Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n+（n-2）（n-1）（n∈N^*）
（1）是否存在常數(shù)p，q，r，使數(shù)列{a_n+pn²+qn+r}是等比數(shù)列，若存在求出p，q，r的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

2n+1-an

，證明：b1+b2+…+bn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在，利用等比的性質(zhì)建立方程，根據(jù)同一性求參數(shù)的值，若求出說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}表達(dá)式，代入求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用放大法得到bn＜

1

n-1

-

1

n

(n≥2)代入不等式左邊化簡(jiǎn)整理證得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)a_n+1+p（n+1）²+q（n+1）+r=2（a_n+pn²+qn+r）
∴a_n+1=2a_n+pn²+（q-2p）n+r-p-q
由a_n+1=2a_n+n²-3n+2∴p=1，q=-1，r=2.4分
∴{a_n+n²-n+2}是以首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．6分
（2）∵a_n+n²-n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹7′
∴bn=

1

2n+1-an

=

1

n2-n+2

＜

1

n2-n

=

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)9分
∴n=1時(shí)，b1=

1

2

＜

3

2

10′n≥2時(shí)，b1+b2+b3++bn=b1+(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

)=

1

2

+1-

1

n

＜

3

2

綜上：b₁+b₂+b₃++b_n＜

3

2

(n∈N*)12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定，以及利用放縮法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，是數(shù)列與不等式綜合的題目，證明過(guò)程中放縮法的技巧要注意體會(huì)，在證明不等式時(shí)，經(jīng)常根據(jù)題設(shè)中的條件恰當(dāng)進(jìn)放大或縮小，以達(dá)到證明的目的．