Question

（2013•涼山州二模）已知等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}均為遞增數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，b₂=2a₂，b₃=a₃+a₅．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記C_n=a_n•b_n，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證S_n＜2C_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得到

2q=2(1+d) 2q2=1+2d+1+4d

，及q＞0，d＞0，解出即可；
（2）由（1）可知：cn=n•2n，而Sn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，要證S_n＜2C_n，只要證明

n(n+1)

2

＜2×n•2n，即證明n+1＜2ⁿ⁺²，利用二項式定理證明即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，等比數(shù)列{b_n}公比為q＞0．
由題意

b2=2a2 b3=a3+a5

得

2q=2(1+d) 2q2=1+2d+1+4d

，及q＞0，d＞0，
解得

q=2 d=1

．
∴a_n=1+（n-1）×1=n，bn=2×2n-1=2n．
（2）證明：由（1）可知：cn=n•2n，而Sn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
要證S_n＜2C_n，只要證明

n(n+1)

2

＜2×n•2n，即證明n+1＜2ⁿ⁺²，
下面利用二項式定理證明：
∵2ⁿ⁺²=（1+1）ⁿ⁺²=1+

C

1 n+2

+

C

2 n+2

+…=1+n+2+

(n+2)(n+1)

2

+…＞n+1．
∴n+1＜2ⁿ⁺²，
即原命題成立．

點評：熟練等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分析法、二項式定理等是解題的關(guān)鍵．