Question

已知f（x）=lg（x²-mx+2m-1），m∈R
（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的值域是[lg2，+∞），求m的值；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時(shí)不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的增區(qū)間．（Ⅱ）利用函數(shù)的值域是[lg2，+∞），確定m的數(shù)值．
（Ⅲ）不等式f（x）＞0恒成立，實(shí)質(zhì)是求當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=lg（x²-1），設(shè)t=x²-1，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t=x²-1遞增，而當(dāng)t＞0時(shí)，y=lgt遞增
所以f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的值域是[lg2，+∞），依題意得t=x²-mx+2m-1的最小值是2，
解-

m2

4

+2m-1=2得m=2或m=6…（8分）
（Ⅲ）法一：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，將x²-mx+2m-2＞0分離變量后得到

x2-2

x-2

＜m
令g(x)=

x2-2

x-2

，則g′(x)=

x2-4x+2

(x-2)2

，
令g′（x）=0得x=2±

2

…（11分）∴當(dāng)0＜x＜2-

2

時(shí)g′（x）＞0，當(dāng)2-

2

＜x＜1時(shí)g′（x）＜0
而x=2-

2

時(shí)取得最大值4-2

2

，∴m＞4-2

2

…（14分）
法二：依題意得：x²-mx+2m-2＞0，令h（x）=x²-mx+2m-2，軸是x=

m

2

（1）當(dāng)

m

2

≤0時(shí)，則有f（0）=2m-2＞0，解得m∈Φ；
（2）當(dāng)0＜

m

2

≤1時(shí)，則有△=m²-8m+8＞0，解得4-2

2

＜m≤2；
（3）當(dāng)1＜

m

2

時(shí)，則有f（1）=m-1＞0，解得m＞2
綜上所求，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4-2

2

，+∞）
法三：將x²-mx+2m-2＞0移項(xiàng)得x²＞mx-2m+2，設(shè)f1(x)=x2，f₂（x）=mx-2m+2，
則f₁（x）、f₂（x）的圖象分別為右圖所示的一段拋物線和直線，要使對(duì)一切x∈[0，1]，f₁（x）＞f₂（x）恒成立，即要使得x∈[0，1]時(shí)，拋物線
段總在直線段的上方，因?yàn)橹本�恒過定點(diǎn)（2，2），可觀察
圖象得：直線的斜率必須大于相切時(shí)的斜率值，而相
切時(shí)的斜率可用判別式或?qū)��?shù)易求得為4-2

2

，
所以m＞4-2

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)復(fù)合函數(shù)可以通過換元法來進(jìn)行轉(zhuǎn)化．