Question

拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離都與到定點(diǎn)的距離相等，圓是以為圓心，同時(shí)與直線和相切的圓，

（Ⅰ）求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）是否存在一條直線同時(shí)滿足下列條件：

① 分別與直線和交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為；

② 被圓截得的弦長(zhǎng)為2．

Answer 1

，不存在

解析:

（1）拋物線的準(zhǔn)線的方程為

根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，

 定點(diǎn)N的坐標(biāo)為 

（2）假設(shè)存在直線滿足兩個(gè)條件，顯然斜率存在，

設(shè)的方程為，    以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓N的半徑為，

方法1：被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，圓心到直線的距離等于1， 

即，解得，

當(dāng)時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為的條件，矛盾！當(dāng)時(shí)，的方程為 

由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，              

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，

顯然AB中點(diǎn)不是，矛盾！ 不存在滿足條件的直線．

方法2：由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，

AB中點(diǎn)為，，解得，   

的方程為，

圓心N到直線的距離，                 

被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！

不存在滿足條件的直線．

方法3：假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，

AB中點(diǎn)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)B 在直線上，，              

A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

的方程為，

圓心N到直線的距離，                   

被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，圓心到直線的距離等于1，矛盾！

不存在滿足條件的直線．