Question

如圖，在矩形地塊ABCD中有兩條道路AF，EC，其中AF是以A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)段，EC是線(xiàn)段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在兩條道路之間計(jì)劃修建一個(gè)花圃，花圃形狀為直角梯形QPRE（線(xiàn)段EQ和RP為兩個(gè)底邊，如圖所示）．求該花圃的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)拋物線(xiàn)y²=2px，根據(jù)點(diǎn)F（4，2）在拋物線(xiàn)上，可求AF所在拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；公園形狀為直角梯形QPRE，所以利用面積公式可求，應(yīng)注意x的取值范圍；先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得 ，利用函數(shù)在（0，2）上是單峰函數(shù)，可求函數(shù)的最值．
解答：解：設(shè)拋物線(xiàn)y²=2px
∵點(diǎn)F（4，2）在拋物線(xiàn)上，∴2²=2p×4，∴2p=1，∴y²=x
設(shè)P（x²，x）  則QE=AE-AQ=4-x²
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x²+x （0＜x＜2）
S'（x）=-3x²+x+4令S'（x）=0則x=-1（舍去）或
當(dāng) 時(shí)，S'＞0，∴S（x）遞增；
當(dāng) 時(shí)，S'＜0，∴S（x）遞減；
∴當(dāng) km時(shí)，km²
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的建立，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．