Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．
（1）求證：GC⊥平面PEF；
（2）求證：PA∥平面EFG；
（3）求三棱錐P-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）：因為PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，所以GC⊥PD．因為GC⊥CD且PD∩CD=D所以GC⊥平面PCD．
（2）因為EF∥CD且EF∥GH所以E，F(xiàn)，H，G四點共面．又因為F，H分別為DP，DA的中點所以PA∥FH因為PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，所以PA∥平面EFG．
（3）先求出底面的面積S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

，由題意得GC=

1

2

BC=1所以三棱錐的體積為VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

6

．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
（2）證明：如圖，取AD的中點H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，
∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點，
∴GH∥CD．
∴EF∥GH．
∴E，F(xiàn)，H，G四點共面．
∵F，H分別為DP，DA的中點，
∴PA∥FH．
∵PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（3）解：∵PF=

1

2

PD=1，EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

點評：證明線面垂直關(guān)鍵是證明直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直；證明線面平行關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)一條直線平行即可；求三棱錐的體積時有時需要換一個底面積與高都好求的頂點，在利用體積公式求出體積即可．