Question

已知奇函數(shù)f（x）定義域R，且f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，是否存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對(duì)[0，

π

2

]恒成立，若存在，求m的范圍．

Answer 1

分析：奇函數(shù)f（x）定義域R，故f（0）=0，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可轉(zhuǎn)化為f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），再由f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，得在R上是增函數(shù)，由單調(diào)性解不等式即可．

解答：解：由題意知，奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）可f（cos2θ-3）＞f（-4m+2mcosθ），即cos2θ-3＞-4m+2mcosθ，
即cos2θ-3＞m（2cosθ-4），由于2cosθ-4＜0，故得m＞

cos2θ-3

2cosθ-4

=

cos 2θ-2

cosθ-2

=4+cosθ-2+

2

cosθ-2

，由于4+cosθ-2+

2

cosθ-2

≤4-2

2

，所以m＞4-2

2

即存在m＞4-2

2

使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對(duì)[0，

π

2

]恒成立，
答：存在存在m∈R，使f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對(duì)[0，

π

2

]恒成立，m的范圍是m＞4-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，綜合考查了利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式恒成立的問(wèn)題，本題綜合性較強(qiáng)，比較抽象，解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化．