Question

如圖，已知PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的大��；
（Ⅲ）在線段PE上是否存在一點M，使DM∥平面PBC，若存在求出點M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形建立空間直角坐標系，寫出個點的坐標，利用線面垂直的判定定理進行求證；
（II）由題意及（I）利用平面的法向量所稱夾角與二面角平面角的大小關系求出二面角的大小；
（III）假設在線段PE上存在一點M，使DM∥平面PBC，利用向量的知識建立未知量的方程進，進而求解．

解答：證明：（Ⅰ）連接DO，BO∥CD且BO=CD，則四邊形BODC是平行四邊形，
故BC∥OD，又BC⊥AB，則BO⊥OD，因為PO⊥平面ABCD，
可知OD、OB、OP兩兩垂直，分別以OD、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
設AO=1，則B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，-1，1），P（0，0，2），
則

PE

=(0，-1，-1)，

PB

=(0，2，-2)，

BC

=(2，0，0)．
則

PE

•

PB

=0，

PE

•

BC

=0，故PE⊥PB，PE⊥BC，又PB∩BC=B，
∴PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC的一個法向量

n1

=

PE

=(0，-1，-1)，設面PBD的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，

PB

=(0，2，-2)，

BD

=(2，-2，0)，
由

n2 • PB =0 n2 • BD =0

得

2y-2z=0 2x-2y=0

取

n2

=(1，1，1)，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

2 • 3

=-

6

3

，
故二面角C-PB-D的大小為arccos

6

3

．
（Ⅲ）存在滿足條件的點M．
由（Ⅰ）可知，向量

PE

是平面PBC的一個法向量，
若在線段PE上存在一點M，使DM∥平面PBC，設

PM

=λ

PE

，
則

DM

=

DP

+

PM

=(-2，0，2)+λ(0，-1，-1)=(-2，-λ，2-λ)，由

DM

•

PE

=0，
得λ-（2-λ）=0，∴λ=1，即M點與線段PE的端點E重合．

點評：此題重點考查了建立恰當的空間直角坐標系，利用向量的知識證明可線面垂直，利用空間向量的知識求解二面角的大�。�還考查了利用向量的知識及方程的思想求解問題．