已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an-an+1=anan+1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．
（1）求證：數(shù)列數(shù)學(xué)公式為等差數(shù)列；
（2）設(shè)Tn=S2n-Sn，求證：Tn+1＞Tn．

證明：（1）由an-an+1=anan+1，
從而得（3分）
∵a1=1
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．（5分）
（2）∵則，∴（7分）
∴Tn=S2n-Sn=
=（9分）
∵，
==，
∴Tn+1＞Tn．（12分）
分析：（1）由an-an+1=anan+1，從而得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）由（1）可求出an的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，利用作差法進(jìn)行證明．
點(diǎn)評：此題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，第二問利用作差法進(jìn)行證明，這也是最基本的證明方法，我們要熟練掌握，此題是一道中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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