Question

點P是圓x²+y²=16上的一個動點，過點P作D垂直于x軸，垂足為D，Q為線段PD的中點．
（Ⅰ）求點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）已知點M（1，1）為上述所求方程的圖形內(nèi)一點，過點M作弦AB，若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由Q為線段PD的中點，知

x0=x y0=2y

，由P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，知x₀²+y₀²=16，由此能求出點Q的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1）．由

y=k(x-1)+1 x2 16 + y2 4 =1

，得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，而M（1，1）是AB中點，則

x1+x2

2

=1，由此能求出直線方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），
∵Q為線段PD的中點，∴

x=x0 y= y0 2

，即

x0=x y0=2y

，
∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=16上，
∴x₀²+y₀²=16，
∴x²+（2y）²=16，即

x2

16

+

y2

4

=1為所求．…（5分）
（Ⅱ）依題意顯然AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，
則AB的方程可設(shè)為y-1=k（x-1）．
由

y=k(x-1)+1 x2 16 + y2 4 =1

，得x²+4（kx+1-k）²=16，
得（1+4k²）x+8k（1-k）x+4（1-k）²-16=0…（8分）
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M（1，1）是AB中點，則

x1+x2

2

=1，
∴

8k(k-1)

1+4k2

=2，，解得k=-

1

4

．
∴直線AB的方程為y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．