已知雙曲線
x2
4
-
y2
a
=1的實軸為A1A2，虛軸為B1B2，將坐標系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點F2折至點F，若點F在平面A1B1B2內(nèi)的射影恰好是該雙曲線的左頂點A1，且直線B1F與平面A1B1B2所成角的正切值為
5
5
，則a=
1
1
．
分析：由題意可得直線B1F與平面A1B1B2所成角為∠FB1A1，可得
5
5
=
FA1
A1B1
=
FA1
4+a
，求得 FA1 的值，
直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得 FO2=A1O2+FA12，由此求出a 的值．
解答：解：如圖所示：由題意可得 實軸A1A2 =4，B1B2，=2
a
，F(xiàn)A1⊥面A1B1B2，
直線B1F與平面A1B1B2所成角為∠FB1A1．
∴
5
5
=
FA1
A1B1
=
FA1
4+a
，∴FA1=
5
5
4+a
．
又FO=c=
4+a
，A1O=2．直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得 FO2=A1O2+FA12，
即4+a=4+
4+a
5
，解得 a=1．
故答案為：1．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)，直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于
中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
①當a為任意實數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是x2=
4
3
y；
②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x-y=0，則雙曲線的標準方程是
x2
5
-
y2
20
=1；
③拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程為y=-
1
4a
；
④已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）．
其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•佛山一模）已知雙曲線
x2
4
-y2=1，則其漸近線方程為
y=±
1
2
x
y=±
1
2
x
，離心率為
5
2
5
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的離心率為e，焦點為F的拋物線y2=2px與直線y=k（x-
p
2
）交于A、B兩點，且
|AF|
|FB|
=e，則k的值為
+
.
2
2
+
.
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個結(jié)論：
①若α、β為銳角，tan（α+β）=-3，tanβ=
1
2
，則α+2β=
3π
4
；
②在△ABC中，若
AB
•
BC
＞0，則△ABC一定是鈍角三角形；
③已知雙曲線
x2
4
+
y2
m
=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）；
④當a為任意實數(shù)時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則焦點在y軸上且過點P的拋物線的標準方程是x2=
4
3
y．其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

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