Question

設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：第一問考查函數的奇偶性，用特殊值法判斷函數及不是奇函數又不是偶函數；第二問是求最值的題目，先判斷函數的單調性再求最值．
解答：解：（1）當a=0時，函數f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x）
此時，f（x）為偶函數
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）
此時f（x）既不是奇函數，也不是偶函數
（2）①當x≤a時，
當，則函數f（x）在（-∞，a]上單調遞減，從而函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1．
若，則函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為，且．
②當x≥a時，函數
若，則函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為，且
若，則函數f（x）在[a，+∞）上單調遞增，從而函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上，當時，函數f（x）的最小值為
當時，函數f（x）的最小值為a²+1
當時，函數f（x）的最小值為．
點評：本題為函數的最值和奇偶性的考查；是高考�？嫉闹�識點之一；而求最值時需要注意的是先判斷函數的單調性．