Question

已知數(shù)列{a_n} （n∈N^*）是首項(xiàng)為a，公比為q≠0的等比數(shù)列，S_n是數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和，已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當(dāng)公比q取何值時(shí)，使得a₁，2a₇，3a₄成等差數(shù)列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可求q，然后代入檢驗(yàn)即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求：na_3n-2=，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求和即可
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，a≠0
①當(dāng)q=1時(shí)，則12s₃=36a，s₆=6a，s₁₂-s₆=6a，
此時(shí)不滿足條件12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數(shù)列；…（1分）
②當(dāng)q≠1時(shí)，則，s₆=
s₁₂-s₆=
由題意得：12×=
化簡(jiǎn)整理得：（4q³+1）（3q³-1）（1-q³）（1-q⁶）=0
解得：或或q=-1…（4分）
當(dāng)q=-1時(shí)，a₁+3a₄=-2a，2a₇=2a，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，，
即∴a₁+3a₄=2（2a₇），所以當(dāng)q=-時(shí)，滿足條件
當(dāng)時(shí)，，
∴a₁+3a₄≠2（2a₇），從而當(dāng)時(shí)，不滿足條件
綜上，當(dāng)q=時(shí)，使得a₁，2a₇，3a₄成等差數(shù)列．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：na_3n-2=
所以…①
則=…②
①-②得：
=
所以T_n=．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用