Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式積特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）在區(qū)間[-，0]上的最大值與最小值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x+1
=2sinxcosx+2cos²x-1+2=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，
∵ω=2，∴T==π，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵x∈[-，0]時(shí)，∴2x+∈[-，]，
當(dāng)2x+=，即x=0時(shí)，sin（2x+）=sin=，
∴f（x）取得最大值3；
當(dāng)2x+=-，即x=-時(shí)，sin（2x+）=sin（-）=-1，
∴f（x）取得最小值2-．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．