Question

已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣2lnx在定義域是單調(diào)函數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取得最小值時(shí)，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m+3，a_n+1=f′（）﹣na_n+1，n∈N*．
試證：
①a_n＞n+2；
②+++…+＜．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=，令h（x）=x²﹣2x+m，△=（﹣2）²﹣4m，
當(dāng)△≤0，即m≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)△＞0，即m＜1時(shí)，f′（x）的符號(hào)不確定（或大于0，或小于0），
f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，
∴當(dāng)f（x）單調(diào)遞增時(shí)，m≥1；當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴當(dāng)m取得最小值時(shí)m=1，
∴a₁=3+m=4，
又a_n+1=f′（）﹣na_n+1，n∈N*．
∴a_n+1=a_n²﹣na_n+1
①用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即a_k＞k+2，
那么，a_k+1=a_k（a_k﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＞（k+1）+2，
根據(jù)（I）和（II），對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2．
②由a_n+1=a_n（a_n﹣n）+1及①，對(duì)k≥2，有
a_k=a_k﹣1（a_k﹣1﹣k+1）+1≥a_k﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2a_k﹣1+1
∵1+a_k≥2（a_k﹣1+1），
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_k≥2^k﹣1（a₁+1）﹣1，
于是＜（k≥2），
∴++…+＜＜==．