Question

（2012•廣州二模）已知函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），且f(

1

2

)=1，對任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）求數(shù)列{f（a_n）}的通項公式；
（3）令An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，證明：當(dāng)n≥2時，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

．

Answer 1

分析：（1）令x=y，則得f（0）=0，再令x=0，則得0-f（y）=f（-y），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）令y=-x，可得f（x）=

1

2

•f（

2x

1+x2

），故有f（a_n）=

1

2

•f（

2an

1+ a 2 n

）=

1

2

f（a_n+1），故數(shù)列{f（a_n）}是公比等于2的等比數(shù)列，首項為  f（

1

2

）=1，由此求得f（a_n）的解析式．
（3）先求出a₂=

4

5

，易證n=2時，不等式成立，假設(shè) |

k

i=1

ai-

k

i=1

A1|＜

k-1

2

，先證明數(shù)列{a_n}為增數(shù)列，
可得

1

2

＜a_n＜1，故有|a_i-a_k+1|＜

1

2

．用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立，命題得證．

解答：解：（1）證明：∵f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，任取x，y屬于（-1，1）且x=y，則有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，則 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）在f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

），即 f（x）=

1

2

•f（

2x

1+x2

）．
∴f（a_n）=

1

2

•f（

2an

1+ a 2 n

）=

1

2

f（a_n+1），
故數(shù)列{f（a_n）}是公比等于2的等比數(shù)列，首項為  f（

1

2

）=1，
故f（a_n）=1×2^n-1=2^n-1．
（3）由a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*) 可得 a₂=

4

5

，
∵An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，
故當(dāng)n=2時，|

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai|=|a₁+a₂-a₁-

a1+a2

2

|=|

3

20

|＜

n-1

2

=

2-1

2

=

1

2

，故當(dāng)n=2時，不等式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即 |

k

i=1

ai-

k

i=1

A1|＜

k-1

2

，
則 |

k+1

i=1

ai-

k+1

i=1

AI|=|

k

i=1

ai-

k

i=1

AI+a_k+1-A_k+1|＜|

k

i=1

ai-

k

i=1

AI |+|a_k+1-A_k+1|
＜

k-1

2

+|

(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)

k+1

|．
由于a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

＜1，故有a_n+1-a_n=

an-an3

1+ a 2 n

＞0，故數(shù)列{a_n}為增數(shù)列．
故當(dāng)n≥2時，

1

2

＜a_n＜1，∴|a_i-a_k+1|＜

1

2

，i=1，2，3…k．
∴

k-1

2

+|

(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)

k+1

|
≤

k-1

2

+|

a1-ak+1

k+1

|+|

a2-ak+1

k+1

|+…+|

ak-ak+1

k+1

|=

k-1

2

+k×

1

2(k+1)

＜

k-1

2

+

1

2

=

k

2

．
故當(dāng)n=k+1時，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

成立．
綜上可得 |

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

成立．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，數(shù)列與不等式綜合，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式，用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法證明不等式，屬于難題．