Question

直線Ax+By+C=0與⊙O：x²+y²=4相交于M，N兩點，若C²=A²+B²，則

OM

•

ON

（O為坐標(biāo)原點）等于

-2

．

Answer 1

分析：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．當(dāng)B≠0時，直線方程與圓的方程聯(lián)立并利用A²+B²=C²．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂即可得出．當(dāng)B=0時，A≠0，C=±A，直線化為y=±x，聯(lián)立

y=x x2+y2=4

，解得即可

OM

•

ON

．

解答：解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
當(dāng)B≠0時，聯(lián)立

Ax+By+C=0 x2+y2=4

，A²+B²=C²．
化為C²x²+2ACx+C²-4B²=0，
∴x1+x2=-

2A

C

，x1x2=

C2-4B2

C2

．
∵y₁y₂=

(Ax1+C)(Ax2+C)

B2

=

A2x1x2+AC(x1+x2)+C2

B2

．
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

B2x1x2+A2x1x2+AC(x1+x2)+C2

B2

=

C2× C2-4B2 C2 +AC•(- 2A C )+C2

B2

=-2．
當(dāng)B=0時，A≠0，C=±A，直線化為y=±x，聯(lián)立

y=x x2+y2=4

，解得x=y=

2

或-

2

．
此時

OM

•

ON

=-2．
綜上可知：

OM

•

ON

=-2．
故答案為-2．

點評：本題考查了直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．