【題目】如圖, 為圓
的直徑,點
,
在圓
上,
,矩形
和圓
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的大��;
(Ⅲ)當的長為何值時,二面角
的大小為
.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
.
【解析】試題分析:(1)利用面面垂直的性質(zhì),可得平面
,再利用線面垂直的判定,證明
平面
,從而利用面面垂直的判定可得平面
平面
;(2)確定
為直線
與平面
所成的角,過點
作
,交
于
,計算
,即可求得直線
與平面
所成角的大小;(3)建立空間直角坐標系,求出平面
的法向量
,平面
的一個法向量
,利用向量的夾角公式,即可求得
的長.
試題解析:(1)∵平面平面
,
平面平面
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
又∵為圓
的直徑,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
(2)根據(jù)(1)的證明,有平面
,
∴為
在平面
內(nèi)的射影,
因此, 為直線
與平面
所成的角,
∵,∴四邊形
為等腰梯形,過點
作
,交
于
,
,則
,
在中,根據(jù)射影定理
,得
,
,∴
,
∴直線與平面
所成角的大小為30°
(3)
設中點為
,以
為坐標原點,
方向分別為
軸、
軸、
軸方向建立空間直角坐標系(如圖).設
,則點
的坐標為
,則
,又
,∴
,
設平面的法向量為
,則
,即
,
令,解得
.
∴.
由(1)可知平面
,取平面
的一個法向量為
,
∴,即
,解得
,
因此,當的長為
時,平面
與平面
所成的銳二面角的大小為60°.....12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題p:關于x的不等式x2+2ax+4>0,對一切x∈R恒成立,q:函數(shù)f(x)=(3﹣2a)x是增函數(shù),若p或q為真,p且q為假,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上, =λ
,
=μ
,若
=1,
=﹣
,則λ+μ=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= cos2x+sin2(x+
). (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當x∈[﹣ ,
)時,求f(x)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )離y軸最近的零點與最大值均在拋物線y=﹣
x2+
x+1上,則f(x)=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,側面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F(xiàn)為SD的中點.
(1)求三棱錐S﹣FAC的體積;
(2)求直線BD與平面FAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C1: 的離心率為
,焦距為
,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點F是橢圓C1的頂點. (Ⅰ)求C1與C2的標準方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的兩點P,Q滿足 ,且直線PQ與C2相切,求△FPQ的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,
,
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記,設
,
為函數(shù)
圖象上的兩點,且
.
(i)當時,若
在
,
處的切線相互垂直,求證:
;
(ii)若在點,
處的切線重合,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 ﹣
,則使得f(2x)>f(x﹣3)成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(1,+∞)
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
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