Question

已知直線C₁

x=1+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），C₂

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），
（Ⅰ）當α=

π

3

時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）C₁與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，P為AB中點，求P點的軌跡的普通方程．

Answer 1

考點：圓的參數(shù)方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）首先，將給定的曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后聯(lián)立方程組，求解相應的交點坐標；
（Ⅱ）首先，將曲線C₁化為普通方程，然后，確定A點和B點坐標，然后，確定其中點坐標，消去參數(shù)，得到其普通方程．

解答： 解：（Ⅰ）當α=

π

3

時，C₁的普通方程為y=

3

（x-1），
C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯(lián)立方程組

y= 3 (x-1) x2+y2=1

，
解得C₁與C₂的交點為（1，0），（

1

2

，-

3

2

）．
（Ⅱ）由曲線C₁得
xsinα-ycosα-sinα=0，
令y=0，得 x=1，
令x=0，得y=-tanα，
∴A（1，0），B（0，-tanα），
∴P（

1

2

，-

1

2

tanα），
∴P點的軌跡的普通方程：x=

1

2

(y∈R)．

點評：本題重點考查了常見曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化等知識，屬于中檔題．