【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,若線段FP的中垂線l與拋物線C總是相切.

(1)求拋物線C的方程;

(2)若過(guò)點(diǎn)Q2,1)的直線l交拋物線CM,N兩點(diǎn),過(guò)M,N分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)A分別與y軸交于點(diǎn)B,C

i)證明:當(dāng)變化時(shí),的外接圓過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo) ;

ii)求的外接圓面積的最小值.

【答案】(1);(2)(i)證明見(jiàn)解析;(ii.

【解析】

1)根據(jù)F2,0),P(﹣2,t)得FP的中點(diǎn)為(0),,討論t的值,當(dāng)t≠0時(shí),求出線段FP的中垂線l,代入拋物線方程y22px,即可求解.

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q2,1)的直線l的方程為x2my1),代入拋物線的方程y28x,

求出y1+y28my1y28m16,對(duì)y28x兩邊求導(dǎo)得2yy8,即y,求出處的切線方程,再求出,設(shè)出外接圓的方程即可求出定點(diǎn);由上一問(wèn)可求出半徑,配方求半徑的最小值即可求解.

(1)F2,0),P(﹣2t),可得FP的中點(diǎn)為(0,),

當(dāng)t0時(shí),FP的中點(diǎn)為原點(diǎn),

當(dāng)t≠0時(shí),直線FP的斜率為,線段FP的中垂線l的斜率為,

可得中垂線l的方程為yx,代入拋物線方程y22px,

可得x2+42px0,

由直線和拋物線相切可得△=(42p2160,解得p4,

則拋物線的方程為y28x

(2)(i)證明:可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q2,1)的直線l的方程為x2my1),即xmy+2m,

代入拋物線的方程y28x,可得y28my16+8m0,

設(shè)M,y1),Ny2),則y1+y28my1y28m16,

y28x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得2yy8,即y,

可得M處的切線方程為yy1x),化為y1y4x,①

同理可得N處的切線方程為y2y4x,②

由①②可得y4mxm2,即Am24m),

l1,l2分別與y軸交于點(diǎn)B0,),C0,),

設(shè)過(guò)A,BC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F0,(D2+E24F0),

即有

結(jié)合y1+y28m,y1y28m16,可得D=﹣m2,E=﹣4mF4m8,

可得△ABC的外接圓方程為x2+y2﹣(m+2x4my+4m80

可得m4x4y+x2+y22x8)=0,

可得

則當(dāng)l變化時(shí),△ABC的外接圓過(guò)定點(diǎn)(4,0)和(,);

ii)△ABC的外接圓的半徑

r,

可得當(dāng)m時(shí),r的最小值為,

則△ABC的外接圓面積的最小值為π

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