Question

已知集合A={x|x²-mx+m=0}，B={x|x²-4x＜0}，且A∩B的元素個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意易得B=（0，4），A∩B有且只有一個(gè)元素，A只能有一個(gè)根在（0，4）中，判別式△=m²-4m，當(dāng)△=0時(shí)，x²-mx+m=0只有一解；當(dāng)△＞0時(shí)，可利用f（0）•f（4）＜0求m的范圍，求出后檢驗(yàn)方可，同時(shí)討論當(dāng)f（0）=0與f（4）=0的情況．

解答：解：B={x|0＜x＜4}
即函數(shù)f（x）=x²-mx+m在x∈（0，4）上有且只有一解     （2分）
（1）當(dāng)△=0時(shí)，即m=0或4時(shí)，分別驗(yàn)證，可得，當(dāng)m=4
時(shí)，x=2，符合題意，成立                             （2分）
（2）當(dāng)f（0）•f（4）＜0時(shí)，即m＜0或m＞

16

3

時(shí)，成立      （6分）
（3）當(dāng)f（0）=0時(shí)，不合題意，舍去
（4）當(dāng)f（4）=0時(shí)，m=

16

3

代入，可得，兩個(gè)解分別為4和

4

3

，符合題意，成立      （2分）
綜上所述，m的取值范圍是m＜0或m≥

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3

或m=4（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的包含關(guān)系判斷，難點(diǎn)在于對(duì)f（x）=x²-mx+m在x∈（0，4）上有且只有一解情況的討論，重點(diǎn)考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于難題．