Question

5．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\\ y≤-nx+2n\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由x＞0，y＞0，2n-nx＞0，可求得x=1，則D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1上，聯(lián)立可求得整點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得整點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）求得b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）由x＞0，y＞0，2n-nx＞0，得0＜x＜2，x為整數(shù)，∴x=1，
∴D_n內(nèi)的整點(diǎn)在直線x=1上，記直線y=-nx+2n為l，
l與直線x=1的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，
則y₁=-n+2n=n，
∴a_n=n（n∈N^*）；
（2）b_n=${2^{a_n}}$+（-1）ⁿa_n=2ⁿ+（-1）ⁿn，
則數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n=（2+2²+…+2²ⁿ）+[-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]
=$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+n=2²ⁿ⁺¹-2+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查線性規(guī)劃的基本知識(shí)，等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．