(07年重慶卷理)(13分)

如圖,在直三棱柱ABC―中, AB = 1,;點(diǎn)D、E分別在上,且,四棱錐與直三棱柱的體積之比為3:5。

(1)求異面直線DE與的距離;(8分)

(2)若BC =,求二面角的平面角的正切值。(5分)

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析解法一:(Ⅰ)因,且,故

從而,又,故是異面直線的公垂線.

設(shè)的長(zhǎng)度為,則四棱椎的體積

而直三棱柱的體積

由已知條件,故,解之得

從而

在直角三角形中,,

又因

(Ⅱ)如答(19)圖1,過(guò),垂足為,連接,因,,故

由三垂線定理知,故為所求二面角的平面角.

在直角中,,

又因,

,所以

解法二:

(Ⅰ)如答(19)圖2,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,則,

設(shè),則,

又設(shè),則,

從而,即

,所以是異面直線的公垂線.

下面求點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè),則

因四棱錐的體積

而直三棱柱的體積

由已知條件,故,解得,即

從而,,

接下來(lái)再求點(diǎn)的坐標(biāo).

,有,即      (1)

又由.     (2)

聯(lián)立(1),(2),解得,,即,得

(Ⅱ)由已知,則,從而,過(guò)

垂足為,連接,

設(shè),則,因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090330/20090330165557087.gif' width=87>,故

……………………………………①

,即

……………………………………②

聯(lián)立①②解得,,即

,故

因此為所求二面角的平面角.又,從而,

,為直角三角形,所以

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