Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax．
（1）若曲線y=f（x）在點x=0處的切線斜率為1，求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（x²-a²），若x≥0時，g（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=0且x＞0時，證明f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得a，設h（x）=e^x-2x，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及最小值，可得f（x）的單調(diào)性，進而得到f（x）的最值；
（2）求得g（x）的導數(shù)，令m（x）=e^x-x-a，求出單調(diào)區(qū)間和最值，討論（i）當1-a≥0即a≤1時，（ii）當1-a＜0即a＞1時，求出單調(diào)性，以及最小值，解不等式即可得到a的范圍；
（3）f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1等價于e^x-x²-ex≥xlnx-x²-x+1，即e^x-ex≥xlnx-x+1．等價于$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1≥0．令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到證明．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2x-a，∴f′（0）=1-a=1，∴a=0，
∴f′（x）=e^x-2x，記h（x）=e^x-2x，∴h′（x）=e^x-2，令h′（x）=0得x=ln2．
當0＜x＜ln2時，h′（x）＜0，h（x）單減；當ln2＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）單增，
∴h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2＞0，
故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=f（1）=e-1． 
（2）∵g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$（x+a）²，∴g′（x）=e^x-x-a．
令m（x）=e^x-x-a，∴m′（x）=e^x-1，
當x≥0時，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上單增，∴m（x）_min=m（0）=1-a．
（i）當1-a≥0即a≤1時，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上單增，
∴g（x）_min=g（0）=1-$\frac{{a}^{2}}{2}$≥0，解得-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，所以-$\sqrt{2}$≤a≤1．
（ii）當1-a＜0即a＞1時，∵m（x）在[0，+∞）上單增，且m（0）=1-a＜0，
當1＜a＜e²-2時，m（ln（a+2））=2-ln（2+a）＞0，
∴?x₀∈（0，ln（a+2）），使m（x₀）=0，即e${\;}^{{x}_{0}}$=x₀+a．
當x∈（0，x₀）時，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）單減；
當x∈（x₀，ln（a+2））時，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）單增．
∴g（x）_min=g（x0）=e${\;}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$（x₀+a）²=e${\;}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{2}$e${\;}^{2{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{1}{2}$e${\;}^{{x}_{0}}$）≥0，
∴e${\;}^{{x}_{0}}$≤2可得0＜x₀≤ln2，由e${\;}^{{x}_{0}}$=x₀+a，
∴a=e${\;}^{{x}_{0}}$-x₀．
記t（x）=e^x-x，x∈（0，ln2]，
∴t′（x）=e^x-1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上單調(diào)遞增，
∴t（x）≤t（ln2）=2-2ln2，∴1＜a≤2-2ln2，
綜上，a∈[-$\sqrt{2}$，2-ln2]． 
（3）證明：f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1等價于e^x-x²-ex≥xlnx-x²-x+1，
即e^x-ex≥xlnx-x+1．
∵x＞0，∴等價于$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1≥0．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$-e+1，
則h′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-1）}{{x}^{2}}$．
∵x＞0，∴e^x-1＞0．
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單減；
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單增．
∴h（x）在x=1處有極小值，即最小值，
∴h（x）≥h（1）=e-1-e+1=0，
∴a=0且x＞0時，不等式f（x）-ex≥xlnx-x²-x+1成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率、單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立問題的解法，以及不等式的證明，注意運用分類討論和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．