Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)．
（1）當(dāng)x∈（n，a-2）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實(shí)數(shù)a與n的值；
（2）令函數(shù)g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，a≥8時(shí)，存在最大實(shí)數(shù)t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，請(qǐng)寫出t與a的關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）由已知條件得f（x）+f（-x）=0對(duì)定義域中的x均成立．
∴+=0．
即=1∴m²x²-1=x²-1對(duì)定義域中的x均成立．
=1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1．
∴f（x）=（x＜-1或x＞1）
設(shè)t==1+，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）∪（-∞，-1），
∴①當(dāng)n＜a-≤-1時(shí)有0＜a＜1．
∴f（x）在（n，a-2）為增函數(shù)，
要使值域?yàn)椋?，+∞），
則（無解）；
②當(dāng)1≤n＜a-2時(shí)有a＞3．
∴f（x）在（n，a-2）為減函數(shù)，
要使f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），則，
∴a=2+，n=1．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8（x-1）+3=-a（x-）²+3+
則函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱軸x=，∵a≥8∴x=．
∴函數(shù)y=g（x）在（1，t]上單調(diào)減．
則1＜x≤t，有g(shù)（t）＜g（x）＜g（1）
∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5．
∵t是最大實(shí)數(shù)使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立
∴-at²+8t+3=-5即at²-8t-8=0．
分析：（1）由已知，f（x）+f（-x）=0對(duì)定義域中的x均成立．求出m=-1，利用函數(shù)的單調(diào)性求f（x）在x∈（n，a-2）上的值域，列出相應(yīng)的方程組并解出即可．
（2）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-a（x-）²+3+，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)值域求解，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想．