Question

已知曲線C₁：所圍成的封閉圖形的面積為4,曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為，記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)頂點(diǎn)的橢圓.

(I)求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)AB是過(guò)橢圓C，中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn).

（1）       若|MO|=|OA|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值。

Answer 1

解：（I）由題意得由a＞b＞0，

解得   a²=5, b²=4.

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為     =1.

（II）（1）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx(k≠0),

A(x_A,y_A).

解方程組  得

所以    |OA|²=

設(shè)M(x,y)，由題意知|MO|=λ|OA|（λ

所以|MO|²=λ²|OA|²,即,

因?yàn)閘是AB的垂直平分線，

所以  直線l的方程為y=-,

即k=-,

因此  

又x²+y²，

故  .

又    當(dāng)k=0或不存時(shí)，上式仍然成立.

綜上所述，M的軌跡方程為（λ0）,

（2）       當(dāng)k存在且k0時(shí)，由（1）得

,

由解得

所以|OA|²=,

解法一：由于     

                        =

                        =

                       

                        =

                        =（）²，

當(dāng)且僅當(dāng)4+5k²=5+4k²時(shí)等號(hào)成立，即k=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△AMB面積的最小值是S_△AMB=.當(dāng)

當(dāng)k不存在時(shí)，

綜上所述，的面積的最小值為

解法二：因?yàn)?SUB>

                         

又   

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是

當(dāng)k=0，

當(dāng)k不存在時(shí)，

綜上所述，的面積的最小值為