Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間
（Ⅱ）a＞0時(shí)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性確定出最小值，借助（Ⅰ）的結(jié)論，由于參數(shù)的范圍對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有影響，故對(duì)其分類討論，

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax
∴f′（x）=

1

x

-a
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)為0解得x=

1

a

，
當(dāng)x＞

1

a

時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＜

1

a

時(shí)，導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)在（0，

1

a

）上是增函數(shù)
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論知
當(dāng)[1，2]⊆[

1

a

，+∞）時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，故最小值為f（2）=ln2-2a
當(dāng)[1，2]⊆（0，

1

a

]時(shí)，即0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，故最小值為f（1）=-a
當(dāng)

1

a

∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，

1

a

]上是增函數(shù)，在[

1

a

，2]上是減函數(shù)，故最小值為min{f（1），f（2）}

點(diǎn)評(píng)：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不定，故需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，以確定函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最值．