10．已知向量$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，且$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）=4$，則向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

分析 通過向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出角的大小即可．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵向量$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，且$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）=4$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ-2${\overrightarrow}^{2}$=16+12cosθ-18=4，
即cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點(diǎn)P在邊AB上，設(shè)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$（λ＞0），過點(diǎn)P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為60°？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超過x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機(jī)抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值（精確到0.01），并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．“開心辭典”中有這樣的問題，給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的幾個數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{3}{8}，\frac{1}{4}，…，-\frac{5}{32}，\frac{3}{32}，…$它的第8個數(shù)可以是$\frac{1}{32}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．已知△ABC中，AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{6}$，∠ACB=$\frac{π}{6}$，若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D，使∠BDC=$\frac{π}{4}$，則CD=$\sqrt{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．某校高考數(shù)學(xué)成績ξ近似地服從正態(tài)分布N（100，52），且P（ξ＜110）=0.96，則P（90＜ξ＜100）的值為（　�。�
A．0.49B．0.48C．0.47D．0.46

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．某研究機(jī)構(gòu)在對線性相關(guān)的兩個變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時，得到如下數(shù)據(jù)：
x4681012
y12356
由表中數(shù)據(jù)求的y關(guān)于x的回歸方程為$\hat y=0.65x+\hat a$，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（　　）
A．$\frac{2}{5}$B．$\frac{3}{5}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．自2017年2月底，90多所自主招生試點(diǎn)高校將陸續(xù)出臺2017年自主招生簡章，懷化市某學(xué)校高三年級為了提高學(xué)生自主招生考試的通過率，對A、B、C、D四所國內(nèi)知名大學(xué)2016年自主招生考試的語文和數(shù)學(xué)的控分做了如下調(diào)查：
學(xué)校ABCD
語文（x分）118120114112
數(shù)學(xué) （y分）116123114119
（Ⅰ）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求數(shù)學(xué)控分$\hat y$關(guān)于語文控分x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$及當(dāng)某高校自主招生考試語文控分為110分時，預(yù)測該校的數(shù)學(xué)控分．
（Ⅱ）依據(jù)調(diào)查表，懷化市的這所學(xué)校從A、B、C、D四所大學(xué)任選兩所，求選出的這兩所學(xué)校的語文和數(shù)學(xué)控分都低于120分的概率．
（附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b×\overline x\end{array}\right.$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．關(guān)于x的方程cos2x+sinx+a=0在$x∈（{0，\frac{π}{2}}]$上有解，則a的取值范圍是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．

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