Question

已知向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=（

3

sinx，-sinx），

c

=（-1，

3

），其中x∈R．
（Ⅰ）當

a

⊥

b

時，求x值的集合；
（Ⅱ）當x∈[0，π]時，求|

a

-

c

|的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=0，化為sin(2x+

π

6

)=

1

2

，即可得出；
（II）利用數(shù)量積性質(zhì)與正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x-(1-cos2x)=2sin(2x+

π

6

)-1=0，
∴sin(2x+

π

6

)=

1

2

，
由2x+

π

6

=

π

6

+2kπ或2x+

π

6

=π-

π

6

+2kπ（k∈Z），
∴x值的集合為{x|x=kπ或x=

π

3

+kπ，k∈Z}．
（Ⅱ）|

a

-

c

|=

(2cosx+1)2+(2sinx- 3 )2

=

4cos2x+4sin2x+4cosx+4-4 3 sinx

=

8-8sin(x- π 6 )

，
∵x∈[0，π]，
∴(x-

π

6

)∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴當x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，|

a

-

c

|有最大值為

8-8×(- 1 2 )

=2

3

．

點評：本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．