Question

已知點(diǎn)F、A分別為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，點(diǎn)B（0，-b）滿足

FB

•

AB

=0，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及雙曲線的簡單性質(zhì)，由

FB

•

AB

=0，可得FB⊥AB，易得RT△AOB∽R(shí)T△BOF，由相似三角形的性質(zhì)及根據(jù)雙曲線的定義，即可找到a與c之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率e．要求雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件

解答：解：如圖，∵

FB

•

AB

=0，
∴FB⊥AB，
則RT△AOB∽R(shí)T△BOF，

|OB|

|OA|

=

|OF|

|OB|

?

b

a

=

c

b

即b²=ac
∴c²-a²=ac兩邊同除ac得
e²-1=e
即e²-e-1=0，
解得：e=

1+ 5

2

或e=

1- 5

2

（舍去）
∴e=

1+ 5

2

故答案為：

1+ 5

2

點(diǎn)評(píng)：求雙曲線的離心率，即是在找a與c之間的關(guān)系，我們只要根據(jù)已知中的其它條件，構(gòu)造方程（組），或者進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于e的方程，解方程（組），易得e值．