Question

已知函數(shù)f（x）=（x-k）e^x，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為關(guān)于k 的函數(shù)g（k），求g（k）的解析式；
（3）判斷g（k）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，得x=k-1．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)k-1≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，f（x）_min=f（0）=-k；當(dāng)1＜k≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k-1]上遞減，（k-1，1]上遞增，；當(dāng)k＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，f（x）_min=f（1）=（1-k）e．由此能求出g（k）．
（3）當(dāng)k≤1時，g（k）=-k，是減函數(shù)；當(dāng)1＜k≤2時，g（k）=-e^k-1，是減函數(shù)；當(dāng)k＞2時，g（k）=（1-k）e，是減函數(shù)．由此知g（k）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
解答：解：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，令f′（x）=0，得x=k-1；
所以f（x）在（-∞，k-1）上遞減，在（k-1，+∞）上遞增；
（2）當(dāng)k-1≤0，即k≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，所以f（x）_min=f（0）=-k；
當(dāng)0＜k-1≤1，即1＜k≤2時，由（I）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，k-1]上遞減，（k-1，1]上遞增，所以；
當(dāng)k-1＞1，即k＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，所以f（x）_min=f（1）=（1-k）e．
綜上g（k）=．
（3）當(dāng)k≤1時，g（k）=-k，是減函數(shù)；
當(dāng)1＜k≤2時，g（k）=-e^k-1，是減函數(shù)；
當(dāng)k＞2時，g（k）=（1-k）e，是減函數(shù)．
∴g（k）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法、函數(shù)解析式的求法和函數(shù)單調(diào)性的判斷．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．