已知橢圓C的方程為(a＞b＞0)，雙曲線的兩條漸近線為l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)

當l1與l2夾角為60°，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程和離心率．

(2)

求的最大值．

答案：
解析：

(1)

∵雙曲線的漸近線為y＝±，兩漸近線夾角為60°

又

∴∠POX＝30°，∴＝tan30°＝，∴a＝b……………………2分

又c＝2，a2＋b2＝c2，∴3b2＋b2＝4．

∴b2＝1，a2＝3…………………………………………(4分)

∴橢圓C的方程為，離心率．……………………6分

(2)

由已知l：y＝，與y＝聯(lián)立，解得P()　　 ……………………7分

∴P在橢圓的右準線上，又A在線段FP上，

設A分

將A點坐標代入橢圓方程，得

等式兩邊同除以a4，

∴≤－2

∴當2－

即的最大值為……………………14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b＞0)．
（1）求橢圓C的離心率的取值范圍；
（2）若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點，且過點M（4，1），求橢圓C的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+ 
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓為橢圓C的“伴隨圓”，橢圓C的短軸長為2，離心率為
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，與其“伴隨圓”交于C，D兩點，當|CD|=
13
 時，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦點在x軸上，離心率e=
2
2
．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2
y
2
0
為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•衡陽模擬）已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），離心率e=
2
2
，上焦點到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
，直線l與y軸交于一點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B且
AP
=t
PB
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若
OA
+t
OB
=4
OP
，求m的取值范圍•

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�

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