Question

已知函數(shù)f(x）="ax3" + x2 - ax (且a).

(I) 若函數(shù)f(x)在{-∞，-1)和（，+∞)上是增函數(shù)¥在（)上 是減函數(shù)，求a的值；

(II)討論函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(III)如果存在，使函數(shù)h(x)="f(x)+"  ,x (b> - 1)，在x = -1處取得最小值，試求b的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為 

當時，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為 

（3）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）                       1分

函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴為的兩個極值點，∴即           3分

解得：                                                        4分

（Ⅱ），的定義域為，

              5分

當時，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為         7分

當時，由解得，的單調(diào)減區(qū)間為  9分

（Ⅲ），據(jù)題意知在區(qū)間上恒成立，即①                          10分

當時，不等式①成立；

當時，不等式①可化為②           11分

令，由于二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在端點處取得，又，所以不等式②恒成立的充要條件是，即                        12分

即，因為這個關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以

                  13分

又，故，                   14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運用

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合極值來得到解析式，同時能利用不等式的最值倆求解參數(shù)的范圍。屬于中檔題。