Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1和

1

2

，AP=2，E，F(xiàn)依次是PB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面AEFD；
（Ⅱ）求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，結(jié)合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB，最后根據(jù)△PAB中，中線AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD內(nèi)的相交直線，證出PB⊥平面AEFD；
（II）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合（I）求出的數(shù)據(jù)，得到A、B、C、D、E、F、P各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到

EC

=（1，4，-1）和平面PAD的一個法向量

n

=（2，0，0），利用空間兩個向量的夾角公式算出

EC

與

n

夾角的余弦之值，即為EC與平面PAD所成角的正弦值．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABCD，直線AB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得Rt△PAB中，tan∠PBA=

PA

AB

=1，可得AB=AP=2
同理，∠PDA是PD與平面ABCD所成的角，得Rt△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

1

2

，可得AD=2AP=4
∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB
又∵Rt△PAB中，AB=AP，且E為PB中點(diǎn)，∴PB⊥AE
∵AD、AE是平面AEFD內(nèi)的相交直線，
∴PB⊥平面AEFD；       …（6分）
（II）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由（I）知AD=4、AB=2，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F(xiàn)（1，2，1），

EC

=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的一個法向量為

n

=

AB

=（2，0，0），
設(shè)直線EC與平面PAD所成的角為α，則
sinα=

| EC • n |

| EC |•| n |

=

2

18 •2

=

2

6

，
∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為

2

6

．…（13分）

點(diǎn)評：本題在四棱錐中，證明了線面垂直并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了用空間向量求直線與平面的夾角和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．