Question

已知橢圓的一條弦所在直線方程是x-y+3=0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），則橢圓的離心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出以M為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點(diǎn)公式代入，可得弦的斜率與a，b的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率．
解答：解：顯然M（-2，1）在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 +=1，+=1，相減得：=0，
整理得：k=-=1，
又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），
∴，
∴，
則橢圓的離心率是e===．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，中點(diǎn)公式及斜率公式的應(yīng)用，以及直線方程，屬于基礎(chǔ)題．本題解題中直接利用點(diǎn)差法巧妙用上了中點(diǎn)坐標(biāo)公式與弦的斜率，方法極為巧妙，此方法即為通常所說(shuō)的點(diǎn)差法，研究弦中點(diǎn)問題時(shí)經(jīng)常采用此方法