Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1,-3）、N（5，1），若點C滿足=?t+(1-t)(t∈R),點C的軌跡與拋物線y²=4x交于A、B兩點.

（1）求證：⊥;

（2）在x軸上是否存在一點P（m,0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點.若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：由=t+(1-t)(t∈R)知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線，故點C的軌跡方程是：y+3=·(x-1),即y=x-4.

由(x-4)²=4xx²-12x+16=0.

∴x₁x₂=16，x₁+x₂=12，

∴y₁y₂=(x₁-4)(x₂-4)=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16=-16.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.故⊥.

（2）解析：存在點P（4，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點.

由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，

故設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+4，代入y²=x，得y²-4ky-16=0,

∴y₁+y₂=4k,y₁y₂=-16.

k_OA·k_OB==-1.

∴OA⊥OB,故以AB為直徑的圓都過原點.

設(shè)弦AB的中點為M(x,y)，

則x=(x₁+x₂),y=(y₁+y₂).

x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k(y₁+y₂)+8=k·(4k）+8=4k²+8.

∴弦AB的中點M的軌跡方程為：消去k，得y²=2x-8.