Question

（2009•黃浦區(qū)一模）方程cosx+

3

sinx=1的解集是

{x|x=2kπ或x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}

．

Answer 1

分析：把方程左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，進(jìn)而求出sin（x+

π

6

）的值，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，進(jìn)而得到方程的解集．

解答：解：∵cosx+

3

sinx
=2（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=2sin（

π

6

+x）=1，即sin（

π

6

+x）=

1

2

，
∴x+

π

6

=2kπ+

π

6

或x+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得：x=2kπ或x=2kπ+

2π

3

，k∈Z，
則方程的解集是{x|x=2kπ或x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}．
故答案為：{x|x=2kπ或x=2kπ+

2π

3

，k∈Z}

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把方程左邊進(jìn)行化簡是本題的突破點(diǎn)．