Question

已知：函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f'（3）=0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，求：實數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】分析：（1）因為f'（3）=0得到a的值，確定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）=0求出x的值，在區(qū)間[1，a]上利用x的值討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值；
（2）因為f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，所以令f′（x）＞0，解得a≤，求出的最小值得到a的取值范圍．
解答：解：（1）f'（3）=0，即27-6a-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f'（x）=3x²-8x-3，
令
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6
（2）f'（x）=3x²-2ax-3≥0∴x≥1∴，
當x≥1時，是增函數(shù)，其最小值為，
∴a≤0．
點評：考查學生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．