Question

已知數(shù)列a，b，c是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d＞0）．在a，b之間和b，c之間共插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+3個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q．
（1）求證：|q|＞1；
（2）若a=1，n=1，求d的值；
（3）若插入的n個(gè)數(shù)中，有s個(gè)位于a，b之間，t個(gè)位于b，c之間，且s，t都為奇數(shù)，試比較s與t的大小，并求插入的n個(gè)數(shù)的乘積（用a，c，n表示）．

Answer 1

分析：（1）先由條件求出知qn+2=

c

a

，又有c=a+2d代入即可得|qⁿ⁺²|＞1，就可證明結(jié)論；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后對(duì)插入的數(shù)分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可；
（3）先由條件求得|q|^s+1＞|q|^t+1?s＞t．然后再對(duì)q所存在的可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)兩種情況分別求出插入的n個(gè)數(shù)的乘積即可．

解答：解：（1）由題意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1，（2分）
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正數(shù)，故|q|＞1．（4分）
（2）由a，b，c是首項(xiàng)為1、公差為d的等差數(shù)列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的這一個(gè)數(shù)位于a，b之間，則1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根為d=

1+ 5

2

．（7分）
若插入的這一個(gè)數(shù)位于b，c之間，則1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程無(wú)正根．
故所求公差d=

1+ 5

2

．　　　　　　　　�。�9分）
（3）由題意得qs+1=

b

a

=

a+d

a

，qt+1=

c

b

=

a+2d

a+d

，又a＞0，d＞0，
故

a+d

a

-

a+2d

a+d

=

d2

a(a+d)

＞0，可得

a+d

a

＞

a+2d

a+d

，又

a+2d

a+d

＞0，
故q^s+1＞q^t+1＞0，即|q|^s+1＞|q|^t+1．
又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．　　（12分）
設(shè)n+3個(gè)數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為a_n，則a1=a，as+2=b=

a+c

2

，an+3=c，
由a_ka_n+4-k=a₁a_n+3=ac（k=2，3，4，n+2），
可得（a₂a₃a_n+2）²=（a₂a_n+2）（a₃a_n+1）（a_n+1a₃）（a_n+2a₂）=（ac）ⁿ⁺¹，（14分）
又qs+1=

b

a

＞0，qt+1=

c

b

＞0，
由s，t都為奇數(shù)，則q既可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)，
①若q為正數(shù)，則a₂a₃a_n+2=(ac)

n+1

2

，插入n個(gè)數(shù)的乘積為

2

a+c

(ac)

n+1

2

；
②若q為負(fù)數(shù)，a₂，a₃，a_n+2中共有

n

2

+1個(gè)負(fù)數(shù)，
故a₂a₃an+2=(-1)(

n

2

+1)(ac)

n+1

2

，所插入的數(shù)的乘積為

2

a+c

(-1)(

n

2

+1)(ac)

n+1

2

．
所以當(dāng)n=4k-2（k∈N^*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為

2

a+c

(ac)

n+1

2

；
當(dāng)n=4k（k∈N^*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為±

2

a+c

(ac)

n+1

2

．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及分類討論思想在解題中的應(yīng)用．本題的前二問(wèn)比較基礎(chǔ)，第三問(wèn)比較麻煩，適合程度較高的學(xué)生解答．