Question

已知函數(shù)（t是常實數(shù)）．
（1）若函數(shù)的定義為R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在實數(shù)t使得y=f（x）是奇函數(shù)，證明y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．

Answer 1

解：（1）因為2^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
當(dāng)t=0時，y=f（x）的值域為（-∞，1）；（4分）
當(dāng)t＞0時，由得，，
因而
即y=f（x）的值域為．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，所以（8分）
，（11分）
當(dāng)“=”成立時，必有，即2^x=0，此式顯然不成立．（13分）
所以對任意實數(shù)x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的圖象在g（x）=2^x+1-1圖象的下方．（14分）
分析：（1）先把定義為R轉(zhuǎn)化為2^x+t≠0恒成立，求出t的取值范圍，再對t分情況討論求出對應(yīng)y=f（x）的值域；
（2）由y=f（x）是奇函數(shù)得t=1，再把兩個函數(shù)作差，整理后利用基本不等式求出差的最值即可證明結(jié)論．
點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)圖象間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是對函數(shù)知識的綜合考查，屬于中檔題目．