Question

（2013•鹽城三模）如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為

1

3

，剛開(kāi)始時(shí)，棋子在上底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為p_n．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）求證：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)棋子移動(dòng)結(jié)合路徑直接求出p₁，利用棋子移動(dòng)的情況直接求解p₂的值；
（2）通過(guò)棋子移動(dòng)通過(guò)數(shù)列是等比數(shù)列求出p_n．然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．在證明n=k+1時(shí)，利用分析法證明即可．

解答：解：（1）棋子在上底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)，棋子從A出發(fā)．由3條路徑，所以p₁=

2

3

．
棋子移動(dòng)兩次，還在上底面時(shí)，有兩種可能，p₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

(1-

2

3

)=

5

9

．
（2）因?yàn)橐屏薾次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為p_n．
故落在下底面頂點(diǎn)的概率為1-p_n．
于是，移了n+1次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為p_n+1=

2

3

pn+

1

3

(1-pn)=

1

3

pn+

1

3

，從而p_n+1-

1

2

=

1

3

(pn-

1

2

)，
所以數(shù)列{pn-

1

2

}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

6

公比為

1

3

，所以pn-

1

2

=

1

6

×(

1

3

)n-1，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．
①當(dāng)n=1時(shí)左式=

1

4× 2 3 -1

=

3

5

，右式=

1

2

，因?yàn)?span id="bzemyar" class="MathJye">

3

5

＞

1

2

，所以不等式成立．
當(dāng)n=2時(shí)，左式=

1

4× 2 3 -1

+

1

4× 5 9 -1

=

78

55

，右式=

4

3

，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）不等式成立，即

k

i=1

1

4pi-1

＞

k2

k+1

．
則n=k+1時(shí)，左式=

k

i=1

1

4pi-1

+

1

4pk+1-1

＞

k2

k+1

+

1

4( 1 2 + 1 2 × 1 3k+1 )-1

=

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

，
要證

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
只要證

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

-

k2

k+1

，
即證：

3k+1

3k+1+2

≥

k2+3k+1

k2+3k+2

，
只要證

2

3k+1

≤

1

k2+3k+1

，
只要證3^k+1≥2k²+6k+2，
因?yàn)閗≥2，所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+

4C

2 k

)=6k²+3=2k²+6k+2+2k（2k-3）+1＞2k²+6k+2
所以

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
即n=k+1時(shí)不等式也成立，由①②可知

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

對(duì)任意n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的應(yīng)用，概率與數(shù)列相結(jié)合，數(shù)學(xué)歸納法與分析法證明不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．