設集合M={x|x2+2(1-a)x+3-a≤0,x∈R}.
(1)當M?[0,3],求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當M⊆[0,3],求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)構(gòu)造y=x2+2(1-a)x+3-a,通過△≥0,f(0)≤0,且f(3)≤0,滿足M?[0,3],求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當M⊆[0,3],通過f(0)≥0,且f(3)≥0,以及對應的二次函數(shù)的對稱軸的范圍,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:設y=x2+2(1-a)x+3-a,其開口向上,
那么滿足y=x2+2(1-a)x+3-a≤0,的x的取值,
即為使 二次函數(shù)在x軸下方 的x的取值范圍,
也就是 二次函數(shù)與y軸交點 之間的部分,
(1)當[0,3]包含于M時
二次函數(shù)與y軸兩交點之間的部分應 包含區(qū)間[0,3],
即 兩交點一個在(-∞,0],一個在[3,+∞),
可知 f(0)≤0,且f(3)≤0,
f(0)=3-a≤0,a≥3,
f(3)=9+6(1-a)+(3-a)=18-7a≤0,a≥
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并且△=b2-4ac≥0,
4(1-a)2-4(3-a)≥0,
a2-2a+1-3+a≥0,
a2-a-2≥0,
(a-2)(a+1)≥0,
a≥2或a≤-1,
綜上所述,a的取值范圍[3,+∞).
(2)當M包含于[0,3]時,
二次函數(shù)與y軸兩交點之間的部分,或M為空集,應包含于區(qū)間[0,3]之間,
即 兩交點都在[0,3]之間,
可知 f(0)≥0,f(3)≥0,且0≤a-1≤3
f(0)=3-a≥0,a≤3
f(3)=9+6(1-a)+(3-a)=18-7a≥0,a≤
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,
0≤a-1≤3⇒1≤a≤4
綜上1≤a≤
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點評:本題是中檔題,考查集合的運算,構(gòu)造法與函數(shù)的零點與方程的根的知識,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想.
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