Question

設集合M={x|x²+2（1-a）x+3-a≤0，x∈R}．
（1）當M?[0，3]，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當M⊆[0，3]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造y=x²+2（1-a）x+3-a，通過△≥0，f（0）≤0，且f（3）≤0，滿足M?[0，3]，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）當M⊆[0，3]，通過f（0）≥0，且f（3）≥0，以及對應的二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設y=x²+2（1-a）x+3-a，其開口向上，
那么滿足y=x²+2（1-a）x+3-a≤0，的x的取值，
即為使 二次函數(shù)在x軸下方 的x的取值范圍，
也就是 二次函數(shù)與y軸交點 之間的部分，
（1）當[0，3]包含于M時
二次函數(shù)與y軸兩交點之間的部分應 包含區(qū)間[0，3]，
即 兩交點一個在（-∞，0]，一個在[3，+∞），
可知 f（0）≤0，且f（3）≤0，
f（0）=3-a≤0，a≥3，
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≤0，a≥

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，
并且△=b²-4ac≥0，
4（1-a）²-4（3-a）≥0，
a²-2a+1-3+a≥0，
a²-a-2≥0，
（a-2）（a+1）≥0，
a≥2或a≤-1，
綜上所述，a的取值范圍[3，+∞）．
（2）當M包含于[0，3]時，
二次函數(shù)與y軸兩交點之間的部分，或M為空集，應包含于區(qū)間[0，3]之間，
即 兩交點都在[0，3]之間，
可知 f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a-1≤3
f（0）=3-a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≥0，a≤

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，
0≤a-1≤3⇒1≤a≤4
綜上1≤a≤

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點評：本題是中檔題，考查集合的運算，構(gòu)造法與函數(shù)的零點與方程的根的知識，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．