Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）求直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C₁，根據(jù)正方體的幾何特征，我們可以得到O₁C₁OA是平行四邊形，即C₁O∥AO₁，結合線面平行的判定定理，即可得到C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）由正方體的幾何特征，我們可根據(jù)CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，得到B₁D₁⊥A₁C，同理可證AB₁⊥A₁C，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直線AC與平面AB₁D₁所成的角實際上就是正四面體ACB₁D₁的一條棱與一個面所成的角，結合正四面體的幾何特征，易求出直線AC與平面AB₁D₁所成角的正切值．

解答：證明：（1）連接A₁C₁，設A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
連接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D是正方體
∴A₁ACC₁是平行四邊形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC（2分）
又∵O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴O₁C₁OA是平行四邊形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?平面A₁B₁D₁，C₁O?平面A₁B₁D₁，
∴C₁O∥面A₁B₁D₁；

（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C
即B₁D₁⊥A₁C，
同理可證AB₁⊥A₁C，
又B₁D₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直線AC與平面AB₁D₁所成的角實際上
就是正四面體ACB₁D₁的一條棱與一個面所成的角，
余弦值為

3

3

，從而正切值為

2

．（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是得到C₁O∥AO₁，（2）的關鍵是利用正方體的幾何特征得到B₁D₁⊥A₁C，且AB₁⊥A₁C，（3）的關鍵是分析出直線AC與平面AB₁D₁所成的角實際上就是正四面體ACB₁D₁的一條棱與一個面所成的角．