Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元，該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。
(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；
(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值。

Answer 1

(1)f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元。

解析試題分析：(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=而建造費(fèi)用為C₁(x)=6x.
最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為
f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)令即
解得x=5,x=(舍去)
當(dāng)0<x<5時(shí)，f’(x)<0,當(dāng)5<x<10時(shí)f’(x)>0,故x=5是f(x)的最小值點(diǎn),對(duì)應(yīng)的最小值為

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元。
考點(diǎn)：函數(shù)模型，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，作為函數(shù)應(yīng)用問題，首先應(yīng)注意“審清題意，設(shè)出變量，列出函數(shù)關(guān)系，確定函數(shù)最值”。在研究函數(shù)最值時(shí)，往往利用均值定理或?qū)��?shù)。應(yīng)用均值定理時(shí)，要注意“已知，二定，三相等”，缺一不可。本題利用導(dǎo)數(shù)，在指定自變量范圍內(nèi)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，因此，可以斷定其即為最值點(diǎn)。