Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+a滿(mǎn)足條件，且方程f（x）=7x+a有兩個(gè)相等的實(shí)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（0＜m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+a滿(mǎn)足條件，可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，利用方程f（x）=7x+a有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得其判別式為0，從而可求f（x）的解析式；
（2）構(gòu)建函數(shù) （x＞0），則當(dāng)f（x）=g（x）時(shí)，即，利用，此時(shí)，，可知，故取 m=，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_min=1，即．故取n=3，從而問(wèn)題得解．
解答：解：（1）因?yàn)?nbsp;二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+a滿(mǎn)足條件，
所以f（x）=ax²+bx+a=，
∴
又因?yàn)榉匠蘤（x）=7x+a有連個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
所以△=-4a•0=0，
解得a=-2，
∴b=7
故f（x）=-2x²+7x-2．…（ （6分）  ）
（2）存在．如圖所示：
設(shè) （x＞0），則當(dāng)f（x）=g（x）時(shí)，即
化簡(jiǎn)得：2x³-7x²+2x+3=0，故（x-3）（2x²-x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，x₃=（舍去）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230646822187456/SYS201311012306468221874019_DA/16.png">，此時(shí)，，
所以，故取 m=，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_min=1，即．故取n=3
綜上，取m=，n=3時(shí)，f（x）=-2x²+7x-2在[，3]上的值域是[1，]．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的定義域與值域，考查存在性問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的思想，綜合性強(qiáng)．