Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。

（1）證明在側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長(zhǎng)；
（2）求平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的余弦值。

Answer 1

解：（1）證明：連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點(diǎn)E，
因?yàn)锳A₁∥BB₁，
所以O(shè)E⊥BB₁，
因?yàn)锳₁O⊥平面ABC，
所以BC⊥平面AA₁O，
所以BC⊥OE，
所以O(shè)E⊥平面BB₁C₁C，
又AO==1，AA₁=，
得AE==。
（2）如圖，分別以O(shè)A，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由，得點(diǎn)E得坐標(biāo)是（），
設(shè)平面A₁B₁C的法向量是=（x，y，z），
由得
令y=1，得x=2，z=-1，
所以=（2，1，-1），
所以cos＜，＞==
即平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的余弦值為。