設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=4，一條漸近線的傾斜角為60°．
（I）求雙曲線C的方程和離心率；
（Ⅱ）若點P在雙曲線C的右支上，且△PF1F2的周長為16，求點P的坐標．
分析：（I）由題意得，
2c=4
b
a
=tan60°
a2+b2=c2
，解出可得a，b，c，從而可得答案；
（Ⅱ）由（I）及已知可得|PF1|+|PF2|=12，PF1|-|PF2|=2，聯(lián)立解出|PF1|，設P（x0，y0），根據(jù)|PF1|及點P在雙曲線上可得方程組，解出即可；
解答：解：（Ⅰ）由題意得，
2c=4
b
a
=tan60°
a2+b2=c2
，解得
a=1
b=
3
c=2
，
所以雙曲線C的方程為x2-
y2
3
=1，離心率為2；
（Ⅱ）由△PF1F2的周長為16，得|PF1|+|PF2|=12①，
又點P在右支上，所以|PF1|-|PF2|=2②，
聯(lián)立①②解得|PF1|=7，
設P（x0，y0），則
(x0+2)2+(y0)2
=7③，x02-
y02
3
=1④，
聯(lián)立③④解得
x0=3
y0=±2
6
或
x0=-4
y0=±3
5
（舍），
點P坐標為（3，，2
6
）或（3，-2
6
）
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系、雙曲線的簡單性質(zhì)，考查方程思想，考查學生的運算求解能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點為F2，過點F2的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，直線l的斜率為
35
，且
AF2
=2
F2B
；
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）如果F1為雙曲線C的左焦點，且F1到l的距離為 
2
35
3
，求雙曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，若準線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F(xiàn)為右焦點，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長為
b2e2
a
求雙曲線c的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-y2=1 (a＞0) 與直線 l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（1）求a的取值范圍：（2）設直線l與y軸的交點為P，且
PA
=
5
12
PB
．求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），R1，R2是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，
3
），△lR1R2的面積是
3
，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的虛軸長為2
3
，漸近線方程是y=±
3
x，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且
OA
⊥
OB
．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程．

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