Question

已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.

(Ⅰ) 求拋物線的方程；

(Ⅱ) 當(dāng)點為直線上的定點時,求直線的方程；

(Ⅲ) 當(dāng)點在直線上移動時,求的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,

解得.

   所以拋物線的方程為.  …… 4分

   (Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得

設(shè),(其中),

則切線的斜率分別為,,

所以切線的方程為,即,即

同理可得切線的方程為

因為切線均過點,所以,

所以為方程的兩組解.

所以直線的方程為.  …… 8分

(Ⅲ) 由拋物線定義可知,,

所以

聯(lián)立方程,消去整理得

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,

所以

又點在直線上,所以,

所以

所以當(dāng)時, 取得最小值,且最小值為.  …… 13分