Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQ⊥BQ并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，則體積可以求得．
（2）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，結(jié)合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．
（3）假設(shè)存在這樣的點Q，使得AQ⊥BQ．
解法一：通過假設(shè)的推斷、計算可知以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．
解法二：在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．這種解法的好處就是：1、解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．2、即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．
以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)滿足題設(shè)的點Q存在，其坐標(biāo)為（0，m，n），點Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得

EQ

=λ

QD

，解得λ=4，∴滿足題設(shè)的點Q存在，其坐標(biāo)為（0，

16

5

，

8

5

）．

解答：解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S_梯形BCED=

1

2

×（4+1）×4=10
∴V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×10×4=

40

3

．
即該幾何體的體積V為16．（3分）

（2）解法1：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．（5分）
在△BAF中，
∵AB=4

2

，
BF=AF=

16+9

=5．
∴cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

2 2

5

．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

2 2

5

．（7分）
解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴

DE

=（0，-4，3），

AB

=（-4，4，0），
∴cos＜

DE

，

AB

＞=-

2 2

5

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

2 2

5

．

（3）解法1：在DE上存在點Q，使得AQ⊥BQ．（8分）
取BC中點O，過點O作OQ⊥DE于點Q，則點Q滿足題設(shè)．（10分）
連接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵

EC

CO

=

OB

OD

=2
∴Rt△ECO∽Rt△OBD
∴∠EOC=∠OBD
∵∠EOC+∠CEO=90°
∴∠EOC+∠DOB=90°
∴∠EOB=90°．（11分）
∵OE=

CE2+CO2

=2

5

，OD=

OB2+BD2

=

5

∴OQ=

OE•OD

ED

=

2 5 • 5

5

=2∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．
切點為Q
∴BQ⊥CQ
∵AC⊥面BCED，BQ?面CEDB
∴BQ⊥AC
∴BQ⊥面ACQ（13分）
∵AQ?面ACQ
∴BQ⊥AQ．（14分）
解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)滿足題設(shè)的點Q存在，其坐標(biāo)為（0，m，n），
則

AQ

=（-4，m，n），

BQ

=（0，m-4，n）

EQ

=（0，m，n-4），

QD

=（0，4-m，1-n）
∵AQ⊥BQ∴m（m-4）+n²=0①
∵點Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）
使得

EQ

=λ

QD

∴（0，m，n-4）=λ（0，4，m，1-n）⇒m=

4λ

1+λ

，n=

4+λ

1+λ

②
②代入①得（

λ+4

1+λ

）²=⇒λ²-8λ+16=0，解得λ=4
∴滿足題設(shè)的點Q存在，其坐標(biāo)為（0，

16

5

，

8

5

）．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．