Question

【題目】已知函數(shù)y= sin（ωx+ ）（ω＞0）．
（1）若ω= ，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心；
（2）函數(shù)的圖象上有如圖所示的A，B，C三點(diǎn)，且滿足AB⊥BC． ①求ω的值；
②求函數(shù)在x∈[0，2）上的最大值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：ω= 時(shí)，函數(shù)y= sin（ x+ ），

令﹣ +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得：﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈Z，

∴函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間為[﹣3+8k，1+8k]，（k∈Z）

令 x+ =kπ，k∈Z，

解得x=﹣1+4k，k∈Z，

∴函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)中心為（﹣1+4k，0），（k∈Z）；

（2）解：①由圖知：點(diǎn)B是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，設(shè)B（xB， ），

設(shè)函數(shù)最小正周期為T(mén)，則A（xB﹣ ，0），C（xB+ ，0）；

∴ =（ ， ），

=（ ，﹣ ），

由 ⊥ ，得 = T2﹣3=0，

解得：T=4，

∴ω= = ；

②由x∈[0，2]得 x+ ∈[ ， ]，

∴sin（ x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴函數(shù)y在[0，2]上的最大值為 ，

此時(shí) x+ = +2kπ，k∈Z，

則x= 4k，k∈Z；

又x∈[0，2]，∴x=

【解析】（1）ω= 時(shí)求出函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心；（2）①由圖知B是函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和最小正周期，表示出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量 、 ，根據(jù)數(shù)量積求出T、ω的值；②由x的取值范圍求出函數(shù)y的最大值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的x值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．